Главная страница     Предыдущая страница

    2.2 Прямая и плоскость в пространстве

    Пусть в пространстве фиксирована точка и вектор n = (A,B,C); . (Напомним, что координатами точки называются координаты её радиус-вектора , где O - начало координат). Тогда в пространстве однозначно определена плоскость π , проходящая через точку перпендиулярно вектору n (рис. 1.5).

Рис. 1.5.

    Уравнение этой плоскости имеет вид:

,

(1.7)

где (x,y,z) - координаты произвольной точки М на плоскости π . Верно и обратное: если плоскость π задана уравнением

то вектор n = (A,B,C) ортогонален плоскости π . Вектор n называется нормальным вектором плоскости (1.8).

    Пусть две плоскости и заданы уравнениями:

и .

    Угол φ между этими плоскостями очевидно равен углу между их нормальными векторами n и n и определяется по формуле (1.3):

(1.9)

    Плоскость в пространстве можно однозначно задать с помощью трех её различных точек , и , не лежащих на одной прямой. Уравнение указанной плоскости можно записать, используя формулу (1.7), где за нормальный вектор n можно взять векторное произведение векторов и или любой вектор, коллинеарный этому векторному произведению; а за точку - любую из точек , , .

    Другой прием получения уравнения плоскости состоит в том, что записывается условие компланарности векторов , и , где М - произвольная точка плоскости с координатами (x, y, z) (рис.1.6):

.

(1.10)

Рис. 1.6

    Расстояние h от точки до плоскости, заданной уравнением (1.8), вычисляется по формуле:

(1.11)

    Пусть в пространстве фиксирована точка и вектор ; . Тогда в пространстве однозначно определена прямая Г, проходящая через точку параллельно вектору a (рис. 1.7). Вектор a называется направляющим вектором этой прямой. Уравнения данной прямой имеют вид:

,

(1.12)

где точка лежит на прямой Г.

Рис. 1.7

    Уравнения (1.12) принято называть каноническими уравнениями прямой. Заметим, что в уравнениях (1.12) одно или два из чисел p, q и r могут оказаться равными нулю. Тогда пропорцию (1.12) понимают так: обращение в нуль одного из знаменателей пропорции означает обращение в нуль и соответствующего числителя.

    Из канонических уравнений прямой легко получаются параметрические уравнения:

,

(1.13)

где

    Вычисление угла между прямыми в пространстве сводится к вычислению угла между их направляющими векторами и :

(1.14)

    Уравнения прямой, проходящей через две различные точки и имеют вид:

(1.15)

    Угол α между плоскостью и прямой находится с помощью угла между нормалью к плоскости n и направляющим вектором прямой a:

    Если , т.е. угол острый (рис. 1.8), то и . Если , т.е. угол тупой (рис. 1.9), то и . Объединяя оба случая, получаем:

(1.16)

Рис. 1.8

Рис. 1.9

    Расстояние L от точки до прямой, заданной уравнением (1.12), вычисляется по формуле:

(1.17)

    Две прямые

и

лежат в одной плоскости тогда и только тогда, когда равно нулю смешанное произведение:

    В противном случае прямые скрещиваются. Расстояние между скрещивающимися прямыми вычисляется по формуле:

(1.18)

Следующая страница