Главная страница     Предыдущая страница

    2 Теоретическое введение

    2.1 Векторная алгебра

    Пусть в трехмерном пространстве задана декартова правая прямоугольная система координат OXYZ, пусть i, j, k - соответствующие единичные орты. Тогда любой вектор, который мы будем обозначать символом a (рис. 1.1) однозначно задается в базисе i, j, k координатами (), т.е. , где числа x_a , y_a , z_a -_-проекции вектора a на соответствующие оси координат. Пусть вектор b имеет в том же базисе координаты( x_b , y_b , z_b )

Рис. 1.1

    Cкалярное произведение (a,b) двух векторов a и b равно произведению длин этих векторов на косинус угла между ними (рис. 1.2) :

(a,b) = | a | · | b | · cos , 0.

Рис. 1.2.

    Скалярное произведение векторов вычисляется по формуле

из которой, в частности, следует формула вычисления длины вектора

| a | = =

(1.2)

    Из формул (1.1) и (1.2) вытекает формула вычисления косинуса угла между векторами:

(1.3)

    Векторным произведением вектора a на вектор b называется такой вектор d = [a,b], длина и направление которого определяются условиями

    1) |d| = |a|· |b| sin φ , где φ - угол между a и b,

    2) d ^ a, d ^ b,

    3) векторы a, b, d образуют правую тройку векторов, т.е. вектор d направлен так, что кратчайший поворот от a к b виден с его конца совершающимся против часовой стрелки.

    Замечание: Если векторы a, b, c приведены к общему началу и кратчайший поворот от a к b виден с конца вектора с совершающимся по часовой стрелке, то векторы a, b, c образуют левую тройку векторов.

    Если известны координаты векторов a и b, то координаты их векторного произведения [a,b] можно найти по формуле:

=

(1.4)

    Геометрический смысл векторного произведения состоит в том, что модуль вектора d = [a,b] численно равен площади параллелограмма, построенного на векторах a и b, вектор d направлен перпендикулярно плоскости, в которой лежат векторы a и b (рис. 1.3):

(1.5)

Рис. 1.3

    Пусть даны три произвольных вектора a, b, c. Если вектор a векторно умножить на вектор b, а затем получившийся при этом вектор [a,b] скалярно умножить на вектор c, то в результате получится число ([a,b],c), называемое смешанным произведением векторов a, b, c и обозначаемое abc.

    Смешанное произведение равно объёму V параллелепипеда, построенного на приведенных к общему началу векторах a, b, c, взятому со знаком "плюс", если тройка векторов a, b, c - правая и со знаком "минус", если эта тройка левая (рис. 1.4). Если же векторы a,b,c компланарны, то abc равно нулю.

Рис. 1.4

    Пусть векторы a, b, c определены своими декартовыми прямоугольными координатами

; ; .

    Тогда смешанное произведение abc равно определителю, строки которого соответственно равны координатам перемножаемых векторов:

(1.6)

Следующая страница