Главная страница     Предыдущая страница

    1.3 Асимптоты

    Выше было показано, как нахождение точек экстремума и точек перегиба упрощает построение графика и дает возможность установить характерные особенности изменения функции. Во многих случаях построение графика функции облегчается, если предварительно построить асимптоты кривой. Различают три вида асимптот: вертикальные, горизонтальные и наклонные.

    Прямая является вертикальной асимптотой графика функции f (х), если выполняется хотя бы одно из условий: или (при этом функция f (х) может быть вообще не определена соответственно при или ).

    Из сказанного следует, что вертикальные асимптоты кривой нужно искать в точках разрыва и на границах области определения. График функции, непрерывной на всей числовой прямой, вертикальных асимптот не имеет. Например, график функции имеет вертикальную асимптоту х= 0 на границе области определения, так как (см. раздел 1, рис. 1.6).).

    Если , то - горизонтальная асимптота кривой у = f (x) (правая при , левая при и двусторонняя, если пределы при равны).

    Например, график функции при а > 1 имеет левую горизонтальную асимптоту у = 0, так как . Правой горизонтальной асимптоты у кривой нет, поскольку (см. раздел 1, рис. 1.5).

    Прямая называется наклонной асимптотой графика функции у = f (x), если (левая наклонная асимптота) или (правая наклонная асимптота).

    Существование наклонной асимптоты определяется следующим условием. Для того чтобы кривая у = f (x) имела асимптоту , необходимо и достаточно, чтобы существовали конечные пределы

(2.1)

или

(2.2)

    В первом случае получается правая наклонная асимптота, во втором - левая. Правая наклонная асимптота изображена на рис. 2.9.

Рис. 2.9.

    При совпадении пределов (2.1) и (2.2) прямая у = kx + b является двусторонней асимптотой кривой. Если хотя бы один из пределов, определяющих асимптоту , не существует, то график функции не имеет наклонной асимптоты (но может иметь вертикальную).

    Нетрудно видеть, что горизонтальная асимптота у = b является частным случаем наклонной у = kx + b при k = 0. Поэтому если в каком-либо направлении кривая имеет горизонтальную асимптоту, то в этом направлении нет наклонной, и наоборот.

    Пример. Найдем асимптоты графика функции и построим эскиз графика.

    Решение. Функции определена на всей числовой прямой, кроме , т.е. , Поэтому в точке разрыва кривая может иметь вертикальную асимптоту. Действительно,

    Аналогично,

    Следовательно, х = 0 - вертикальная асимптота; при слева, при справа .

    Горизонтальной асимптоты кривая не имеет, так как

    Выясним наличие наклонной асимптоты:

;

    Прямая является двусторонней наклонной асимптотой заданной кривой (рис. 2.10).

Рис. 2.10.

Следующая страница