Главная страница Предыдущая страница
1.2 Направление выпуклости графика функции. Точки перегиба
Пусть функция f(x) дифференцируема на интервале (a; b), тогда в любой точке 
существует касательная к графику этой функции. График дифференцируемой функции называется выпуклым вверх в интервале 
если в этом интервале он расположен ниже любой своей касательной (рис. 2.5). График дифференцируемой функции называется, выпуклым вниз в
интервале , если в этом интервале он расположен выше любой своей касательной (рис. 2.6).
Рис. 2.5.
Рис. 2.6.
Теорема. Достаточный признак направления выпуклости графика функции. Если для функции f (х) во всех
точках интервала 
, то кривая у=f(х) выпукла вниз в этом интервале; если
же 
во всех точках интервала , то кривая выпукла вверх в этом интервале.
Точка 
графика непрерывной функции, в которой изменяется направление выпуклости,
называется точкой перегиба графика функции, а x0 называется точкой перегиба функции.
Из определения следует, что с одной стороны от точки перегиба кривая расположена под касательной, с другой стороны - над ней, или наоборот. Поэтому точку перегиба на графике принято показывать отрезком касательной, которая в этой точке пересекает кривую (рис. 2.7).
Рис. 2.7.
Теорема. Достаточный признак существования точки перегиба. Если в точке x0 функция f (х)
имеет первую производную 
, а вторая производная 
в этой точке равна нулю или не существует
и, кроме того, 
при переходе через x0 меняет знак, то 
является точкой
перегиба графика функции 
.
Таким образом, чтобы исследовать характер выпуклости кривой у = f (х), нужно найти те точки, в которых =
0 или не существует, а затем, используя достаточный признак, исследовать знаки второй производной слева и справа
от каждой возможной точки перегиба (подобно тому, как определялись точки экстремума по первой производной).
Пример. Найдем точки перегиба и построим график функции 
.
Решение. Функция определена при 
. Её производные 
и 
. Здесь 
при 
, причем 
при х < 0 и 
при х > 0. Следовательно, слева от х = 0 кривая выпукла вниз, а справа - выпукла
вверх, т. е. О(0; 0) - точка перегиба графика. В этой точке угловой коэффициент касательной 
, поэтому касательная
вертикальна (рис. 2.8).
Рис. 2.8.