Главная страница     Предыдущая страница

    Задача 6. Точка A₅, симметричная точке A₄ относительно плоскости A₁A₂A₃, определяется следующим образом (рис. 1.10): прямая A₄A₅ перпендикулярна плоскости A₁A₂A₃ и ,где B - точка пересечения вышеуказанной прямой и плоскости. Напишем параметрическое уравнение прямой A₄A₅ по формуле:

где произвольная точка прямой, - направляющий вектор прямой.

    Воспользуемся тем фактом, что нормальный вектор плоскости (см. задачу 1), является направляющим вектором искомой прямой:

(1.25)

    Найдем координаты точки . Для этого подставим (x, y, z) из формулы (1.25) в уравнение плоскости (1.24):

-(-t) +4(-1 + 4t) +6(-3 +6t) -31=0; 53t = 53; t = 1.

    Следовательно,

    Тогда и . Зная координаты вектора и координаты его начала A₄, легко найти координаты конца :

.

    Для контроля полученного результата вновь вычислим высоту пирамиды h как половину отрезка АА (рис. 1.10):

= ( -2; 8; 12); h = = 7,28.

    Совпадение с предыдущими расчётами говорит о правильности нахождения координат точки А₅.

    Ответ: (-2; 7; 9).

    Задача 7. Точка A₆, симметричная точке A₄ относительно прямой A₂A₃, определяется следующим образом: прямая A₄A₆перпендикулярна прямой A₂A₃ и пересекает её и , где C - точка пересечения этих прямых (рис. 1.11). Заметим, что прямая A₄A₆ с нужными нам свойствами принадлежит плоскости π , проходящей через точку A₄ перпендикулярно прямой A₂A₃, так как плоскость π содержит все прямые, проходящие через точку A₄ перпендикулярно A₂A₃. Нормальным вектором к плоскости π можно считать вектор :

.

Рис. 1.11.

    Напишем уравнение плоскости π , используя формулу (1.7):

(1.26)

    Напишем параметрические уравнения прямой A₂A₃, зная её направляющий вектор (2;-1; 1)

    Найдем координаты точки , подставляя выражения (1.27) в формулу (1.26):

    Следовательно,

    Тогда и .

    Окончательно находим координаты точки :

    Ответ: (1,33; 11,33; 6,67).

    Задача 8. Вычислим расстояние L между точкой А и прямой АА двумя способами:

    1. L = 7,86.

    2. Расстояние L от точки до прямой, заданной уравнением

,

где - произвольная точка прямой, - направляющий вектор прямой, вычисляется по формуле:

    В этой формуле положим М= А, М= А, a = , тогда

= (-1; -6; -5); a = ( 6; -3; 3);

[, a ] = = i -27j +39k;

[, a ] = 57,78;

7,35; L = 7,86.

    Совпадение результатов расчёта двумя способами свидетельствует о правильности нахождения координат точки А.

    Ответ: 7,86.

    Задача 9: Расстояние между скрещивающимися прямыми вычисляется по формуле:

,

где и произвольные точки первой и второй прямой, и - их направляющие вектора. Для вычисления расстояния между ребрами A₁A₃ и A₂A₄ воспользуемся формулой (1.18), в которой положим

M₁=A₁; M₂=A₂, ; ;

;

; .

(см. задачу 4). Окончательно получаем:

    Ответ: 7,28.

    Задача 10. Центр описанного около пирамиды шара является точкой, равноудаленной от его вершин A₁, A₂, A₃, A₄. Обозначим координаты этой точки . Имеем

или

    Раскроем скобки, приведем подобные члены и получим систему линейных уравнений:

    Решим эту систему по формулам Крамера:

= -106; = -621;

= -219; = 175.

    Радиус описанной сферы вычислим как расстояние от его центра до вершины, например, вершины :

    Ответ: (5,86; 2,07; -1,65), R=6,75.

Следующая страница