Главная страница     Предыдущая страница

    5 Пример выполнения типового расчёта

Условие типового расчёта.

    По условию имеем следующие координаты вершин пирамиды:

A₁ (9; 4; 4), A₂ (1; 5; 2), A₃ (7; 2; 5), A₄ (0; -1; -3).

    Задача 1. Чтобы найти нормаль n к плоскости A₁A₂A₃, найдем сначала векторное произведение векторов и .

= (-8; 1; -2) ; = (-2; -2; 1);

[,] = = -3i + 12j + 18k

(1.22)

    За нормаль n можно взять любой вектор, коллинеарный вектору (1.22). Для упрощения дальнейших расчётов поделим координаты вектора (1.22) на общий множитель 3, получим коллинеарный вектор, его и примем за вектор n.

n= ( -1; 4; 6)

(1.23)

    Аналогично находим нормаль n к плоскости :

= ( 6; -3; 3) ; = ( -1; -6; -5);

[,] = = 33i + 27j - 39k;

n= ( 11; 9; -13).

    С помощью формулы (1.9) найдем косинус угла между плоскостями:

    Знак "минус" показывает, что мы нашли косинус тупого угла между плоскостями. Косинус дополнительного ему острого угла равен . В ответе договоримся писать положительное значение косинуса, т.е. косинус острого угла.

    Ответ: 0,378.

    Задача 2. Найдем координаты вектора , который является направляющим вектором прямой : . Синус угла β между ребром A₁A₄ и плоскостью равен:

    Ответ: 0,585.

    Задача 3. Для нахождения площади грани воспользуемся свойствами векторного произведения векторов и , найденного в задаче 1 (см. формулу (1.22) ) :

.

    Тогда по формуле (1.5)

    Ответ: 10,92

    Задача 4. Объём пирамиды A₁A₂A₃A₄ равен 1/6 модуля смешанного произведения векторов , и . Координаты первых двух векторов и их векторного произведения уже вычислены - см. (1.22) , найдем . Вычислим смешанное произведение:

    Тогда искомый объём равен: .

    Ответ: 26,5.

    Задача 5. Вычислим длину h высоты пирамиды тремя разными способами (рис.1.10)

Рис. 1.10.

    1. Из прямоугольного треугольника A₁A₄B найдем катет A₁B, зная гипотенузу A₁A₄ и острый угол β (см. рис. 1.10):

,

    Заметим, что округление результата следует производить только на заключительном этапе, промежуточные выкладки необходимо выполнять с точными значениями переменных.

    2. Используем объём пирамиды и площадь грани. Имеем:

,

откуда

    3. Вычислим h как расстояние от точки A₄ до плоскости A₁A₂A_3.. Уравнение этой плоскости найдем по формуле

,

где - координаты произвольной точки на плоскости, n = (A,B,C) - нормальный вектор к плоскости. Нормальный вектор получен в задаче 1, формула (1.23); в качестве точки М возьмем, например, точку А:

-1(x-9) + (y-4) + 6(z-4) = 0.

    Или после упрощения:

    Расстояние h от точки до плоскости, заданной уравнением Ax+ By+ Cz +D =0, вычисляется по формуле (1.11):

    В нашем случае имеем:

    Поскольку результаты всех трех способов совпали, делаем вывод о правильности наших вычислений.

    Ответ: 7,28.

Следующая страница