Главная страница Предыдущая страница
3.2 Задача 2
Результаты эксперимента представлены в первых двух столбцах таблицы 4.2. По отдельной серии из n2=20 экспериментов найдена оценка дисперсии S2=0,176. Найдем оценки параметров линейной регрессии Y на х.
Таблица 4.2
Исходные данные и результаты расчёта линейной модели регрессии (к задаче 2)
| х | Y |  |
Х |
|
 |
 |
 |
 |
| 0 | 12,28 | -0,5 | -5 | 25 | -61,4 | 14,923 | -2,643 | 6,9854 |
| 0,2 | 18,66 | -0,3 | -3 | 9 | -55,98 | 17,785 | 0,875 | 0,7656 |
| 0,4 | 22,80 | -0,1 | -1 | 1 | -22,80 | 20,647 | 2,153 | 4,6354 |
| 0,6 | 24,97 | 0,1 | 1 | 1 | 24,97 | 23,509 | 1,461 | 2,1345 |
| 0,8 | 26,70 | 0,3 | 3 | 9 | 80,10 | 26,371 | 0,329 | 0,1082 |
| 1,0 | 27,06 | 0,5 | 5 | 25 | 135,30 | 29,233 | -2,173 | 4,7219 |
 |
132,67 | 0 | 0 | 70 | 100,19 | -0,002 | 19,3510 |
Найдем решение задачи линейной регрессии в кодированных значениях переменной х (4.14). Введем новую переменную по формуле
,
где
Значения величины
будут целые числа, не имеющие общего множителя, если
принять h = 0,1. Поэтому введем переменную
.
По формулам (4.15) находим оценки коэффициентов линейной регрессии
,
Получили линейную модель регрессии
 |
(4.32) |
Вычисляем значения линейной модели регрессии
по формуле (4.32) при всех значениях аргумента Х,
а затем рассчитываем 
отклонения экспериментальных значений
от значений 
, полученных по функции регрессии. Сумма
не равна
нулю в силу того, что при вычислении коэффициентов регрессии результаты округлялись с точностью трех знаков после запятой и при вычислении суммы
отклонений набежала ошибка округления. Далее суммируем значения
для нахождения дисперсии адекватности
(4.17). Все расчёты приведены в таблице 4.2.
Проверяем адекватность линейной модели регрессии, используя критерий Фишера (4.11).
Квантиль распределения Фишера
Так как
то гипотеза об адекватности линейной модели регрессии отвергается.
Построим квадратичную модель регрессии с кодированной переменной (4.23)
 |
(4.33) |
Заметим, что в нашем случае
, поэтому для оценок коэффициентов регрессии можно воспользоваться формулами
(4.25). Все расчёты приведены в таблице 4.3.
Таблица 4.3
Результаты расчёта квадратичной модели регрессии (к задаче 2)
 |
|
 |
 |
 |
 |
| -125 | 307,00 | 626 | 12,558 | -0,278 | 0,07728 |
| -27 | 167,94 | 81 | 18,258 | 0,402 | 0,16160 |
| -1 | 22,80 | 1 | 22,540 | 0,26 | 0,06760 |
| 1 | 24,97 | 1 | 25,402 | -0,432 | 0,18662 |
| 27 | 240,30 | 81 | 26,844 | -0,144 | 0,02074 |
| 125 | 676,50 | 625 | 26,878 | 0,182 | 0,03312 |
| 0 | 1439,51 | 1414 | -0,010 | 0, 54996 |
;
.
Получили квадратичную модель регрессии
 |
(4.34) |
Для расчёта дисперсии адекватности (4.28) вычисляем
отклонения экспериментальных значений
от значений 
, полученных по функции регрессии. Отличие
от
нуля объясняется ошибками округления. Проверяем адекватность квадратичной модели регрессии
.
Квантиль распределения Фишера
Так как
то гипотеза об адекватности квадратичной модели регрессии принимается.
Найдем доверительные интервалы для коэффициентов регрессии. Границы доверительных интервалов (4.27) для коэффициентов В1, В2 и В3:
Уравнение квадратичной регрессии Y от исходного переменного х найдем, сделав преобразование:
Границы доверительных интервалов для коэффициентов β1, β2 и β3 (4.29):
;
;
.
а)
б)
Рис. 4.3. График отклонения экспериментальных данных от линейной модели (а); от квадратичной модели (б).
Для графического анализа результатов расчёта построены графики отклонений линейной и квадратичной моделей регрессии от экспериментальных данных.
На рис. 4.3 а) представлен график отклонений Δ Yлин по приведенной выше таблице 4.2. Из рис. 4.3 а) видна не только непригодность линейной модели (что следует уже из больших значений отклонений Δ Yлин, явно превышающих погрешность эксперимента, но и целесообразность расчёта квадратичной модели, так как расположение точек наводит на мысль о параболе.
На рис. 4.3 b) представлен график отклонений Δ Yкв по таблице 4.3, но построенный уже в другом масштабе с увеличением в 5 раз. Из рис. 4.3 b) видно, что отклонения от параболы, то есть |Δ Yкв| малы (имеют порядок ошибок эксперимента); это свидетельствует о соответствии квадратичной модели регрессии результатам эксперимента.
Надо также графически сравнить линейную и квадратичную модели с экспериментальными точками. На рис. 4.4 такое сравнение проведено для рассматриваемого примера; оно показывает соответствие квадратичной модели с экспериментом.
Рис. 4.4. Сравнение линейной и квадратичной моделей с данными эксперимента.
Выводы по работе. По приведенным исходным данным построенная методом наименьших квадратов линейная модель регрессии неадекватна, квадратичная модель адекватна (уровень значимости α = 0,05).
Уравнение регрессии в кодированных значениях переменной 
:
где 
Уравнение регрессии в исходной переменной х:
,
где 
;
.
