Главная страница     Предыдущая страница

    1.5 Биномиальное распределение дискретной случайной величины

    Пусть проводится n независимых испытаний, в каждом из которых событие А наступает с вероятностью р (0 < p < 1), и не наступает с вероятностью q, q = 1 - p. Обозначим P_n(m) - вероятность того, что в n испытаниях событие А наступит ровно m раз, тогда случайная величина Х такая, что Р(Х=m) = P_n(m) определяет биномиальное распределение или распределение Бернулли. Вероятности P_n(m) вычисляются по формуле:

,

(1.16)

где коэффициенты называются числом сочетаний из n элементов по m и вычисляют по формуле:

(1.17)

    Из формулы (1.17) видно, что .

    По определению полагают также .

    Рассмотрим смысл коэффициентов . Пусть заданы n разных элементов. Всевозможные группировки из данных n элементов по m элементов в каждой, отличающиеся друг от друга хотя бы одним элементом, при этом порядок расположения элементов в группировке безразличен, называются сочетаниями из n элементов по m. Например, n = 4, имеем 4 элемента: а, b, c, d. Выпишем сочетания из четырех элементов по два: ab, ac, ad, bc, bd, cd. Из определения следует, что сочетания ab и ba не различимы. Число таких сочетаний и находится по формуле (1.17), .

    Примеры вычисления:

    Вероятность того, что в n испытаниях событие А наступит менее m раз, равна сумме вероятностей:

P_n(0) + P_n(1) + ... + P_n(m - 1);

    более m раз - сумме вероятностей:

P_n(m + 1) + ... + P_n(n)

    Часто расчёты упрощаются, если применять свойство вероятностей Р_n(m)

    Пример 1.10. В урне 10 шаров, из них 3 белых. Вынимают наугад 3 шара. Найти распределения вероятностей случайной величины Х - числа вынутых белых шаров при повторной выборке. При повторной выборке после каждого извлечения шара отмечают его цвет и возвращают шар в урну, снова перемешивая шары.

    Решение: P (X = 0) = Р(три раза вынимали черный шар) = 0,7· 0,7· 0,7 , где 0,7 - вероятность вынуть черный шар из урны. Так как после каждого извлечения шар возвращают в урну и шары перемешивают, то система шаров возвращается в исходное состояние и вероятность вынуть черный шар одинакова при любом извлечении.

    P (X = 1) = Р (вынимали один белый шар и два черных) = Р (вынули белый шар первым или вынули белый шар вторым, или вынули белый шар третьим) =

= 0,3· 0,7· 0,7+0,7· 0,3· 0,7+0,7· 0,7· 0,3 =3 · 0,3 · 0,7² = 0,441.

    P (X = 2) = Р (вынимали один черный шар и два белых) = Р (вынули черный шар первым или вынули черный шар вторым, или вынули черный шар третьим) =

= 0,7· 0,3· 0,3+0,3· 0,7· 0,3+0,3· 0,3· 0,7 = 3 · 0,3^{2 ·} 0,7 = 0,189.

    P (X = 3) = Р(три раза вынимали белый шар) = 0,3· 0,3· 0,3.

    Распределение вероятностей случайной величины Х представлено в таблице 1.2.

Таблица 1.2

Следующая страница