Главная страница     Предыдущая страница

    1.3 Независимость случайных событий

    Для двух независимых событий А и В правило умножения вероятностей имеет вид:

    Сравнивая с формулой (1.2), видим, что их условные вероятности равны безусловным, т. е.

Р(В/А) = Р(В); Р(А/В) = Р(А).

    Формула (1.8) может быть обобщена на независимые в совокупности события А₁, ..., А_n:

,

(1.9)

    вероятность их совмещения равна произведению вероятностей.

    Рассмотрим примеры, где применяются правила сложения и умножения независимых событий. Отметим одно полезное при решении задач свойство: если события А и В независимы, то будут независимыми следующие пары событий: 1) А и ; 2) и В; 3) и и тогда

(1.10)

    Пример 1.5. Два стрелка стреляют по мишени независимо друг от друга по одному разу. Вероятности попадания равны: для первого стрелка Р(А₁) = 0,7, для второго стрелка Р(А₂) = 0,8. Найти вероятности событий:

    а) в мишени ровно одна пробоина (событие С);

    б) мишень поражена (событие D)

    Решение: а) Событие С = (попадет или только первый стрелок {} или только второй стрелок {}) = С₁ + С₂, где события С₁ и С₂ несовместны и по правилу сложения (1.4) Р(С) = Р(С₁) + Р(С₂).

    Событие (первый стрелок попал, второй не попал), в силу независимости событий А₁ и А₂ (по условию задачи), будут независимыми события А₁ и и

.

    Аналогично, (второй стрелок попал, первый - не попал) и Р(С₂) = 0,8(1 - 0,7) = 0,8 · 0,3 = 0,24. Тогда = 0,14 + 0,24 = 0,38.

    б) Событие D = {мишень поражена} = {попадет хотя бы один стрелок} = A₁ + A₂ (попадет или первый стрелок, или второй стрелок, или оба вместе), где события А₁ и А₂ совместны и, обратите внимание, правило (1.4) применять нельзя. Перейдем к противоположному событию .

    = {мишень не поражена} = = (первый стрелок не попал и второй стрелок не попал), где и - независимые события. Тогда = (1 - 0,7)(1 - 0,8) = 0,3 · 0,2 = 0,06.

= 1 - 0,06 = 0,94

    Для вычисления вероятности появления хотя бы одного из событий А₁, А₂, ..., А_n можно найти сначала вероятность противоположного события, которое заключается в том, что не произойдет ни одно из указанных событий. Это событие соответствует совмещению событий, противоположных рассматриваемым: .

    Окончательная формула будет:

(1.11)

    Независимость трех событий А, В и С в совокупности означает выполнимость четырех условий:

(1.12)

    Пример 1.6. Три элемента в системе работают независимо друг от друга. Вероятности безотказной работы равны: для первого элемента Р(А₁) = 0,6; для второго элемента Р(А₂) = 0,7; для третьего элемента Р(А₃) = 0,8. Найти вероятности следующих событий - в системе будут работать безотказно:

    а) только один элемент (событие В);

    б) только два элемента (событие С);

    в) все три элемента (событие D);

    г) хотя бы один элемент (событие F).

    Решение: а) Событие (один элемент работает, при этом два других не работают). В силу независимости событий А₁, А₂, А₃ по правилам сложения и умножения вероятностей

    б) Событие (два элемента работают, при этом третий не работает)

    в) и по правилу (1.9) для независимых событий:

0,6 · 0,7 · 0,8 = 0,336.

    г) = {все три элемента не работают} = .

0,4 · 0,3 · 0,2 = 0,024; 1 - 0,024 = 0,976.

Следующая страница