Интеллектуальная среда дистанционного обучения и дизайна http: econom.misis.ru, fdisto.misis.ru; e-mail: vaosadchy@yandex.ru

На главную Контакты Выполнить расчёт (запустить приложение)

Алгоритм решения одномерной температурной задачи

    Так как процесс сортовой прокатки связан с получением последовательного ряда переходных сечений квадратной, ромбической, круглой, овальной, прямоугольной и другой формы с различными соотношением ширины к высоте, то для большинства профилей решения температурной задачи либо имеют довольно сложный вид, либо вообще отсутствует.

    Поэтому теоретические решения одномерной задачи для цилиндра и полосы (при h/b> 6) используются с определенной погрешностью и для других сечений путем замены профилей фактической конфигурации на профили “соответственного“ круга (для равнинных сечений) или полосы (для неравноосных овальных, прямоугольных, ромбических сечений).

    В алгоритме решения температурной задачи применительно процессу прокатки сортовых профилей приняты следующие допущения:

        1) теплообмен по периметру полосы в паузах считается симметричным и расчёт ведется половины сечения;

        2) при расчёте охлаждения металла в паузах между проходами сечение разбивается на N₁ узлов (слоев) толщиной Δх;

        3) профили различной конфигурации при расчёте температуры в паузах между проходами заменяются на “соответственные” профили круга или полосы;

        4) для расчёта температурных параметров очаг деформации разбивается на N сечений, в пределах которых геометрические и теплофизические характеристики считаются постоянными;

        5) после очередного прохода значение температуры в узлах сетки до деформации переносятся в те же узлы ( по номерам), но уже более плотной сетки нового сечения.

    Для определения поля температур поперечного сечения полосы в паузах между проходами используем дифференциальные уравнения теплопроводности [65]:

        а) для пластины (полосы)

(1)

        б) для цилиндра

(2)

    Уравнения (1) и (2) объединяются при помощи коэффициента М:

(3)

(4)

    Теплофизические характеристики стали, входящие в уравнения (1) и (2), определяются линейной интерполяцией по таблицам.

    Уравнение (4) решается с учётом начальных и граничных условий, отражающих исходное состояние металла и особенности теплообмена на различных стадиях процесса.

    Начальное распределение температур в поперечном сечении заготовки выражается в виде параболы второго порядка:

(5)

    Граничные условия в паузах между проходами и при транспортировке по рольгангу имеют вид:

        а) в центре заготовки соблюдается адиабатическое условие:

        б) на поверхности:

где  σ₀ =5,7·10 Вт/(м²·град⁴) - константа излучения абсолютно черного тела.

    Решая уравнения (4) с начальными (5) и граничными (6) и (7) условиями определяем температурное поле металла круглого и прямоугольного сечений в паузах между проходами.

    Из-за сложности полученных аналитических зависимостей для расчёта температуры металла, а также изменения теплофизических параметров в ходе технологического процесса, решение температурной задачи производится методом конечных разностей.

    Заменив в уравнении (4) производные отношениями конечных приращений

(8)

и несколько преобразовав его, получим сеточное уравнение в явном виде:

где j=1, 2, 3, N₁ - номер узла сетки

    Граничные условия (2) выполняются путем переноса значения температуры из узла перед центром в узел, расположенный в полуслое за центром:

    Учет граничного условия на поверхности (4) осуществляется путем введения “фиктивного” полуслоя сетки Δх/2 от поверхности металла, температуру в котором определяем по формуле:

(11)

а температура поверхности заготовки:

где T₁ - температура в полуслое, прилегающем к поверхности

(13)

    В этом случае граничное условие (7) линеаризуется и приводится к виду:

(14)

    Степень черноты металла в выражении (13) принимается равной 0.8 [1123].

    Температурное поле металла в процессе расчётов уточняется методом итераций. Расчёт ведется до тех пор, пока предыдущее T_П` и последущее T_П значения температуры поверхности не будут отличаться на величину, не превышающую допустимую погрешность:

|T_П - T_П`| < Δ .

    В процессе расчётов охлаждения металла методом конечных разностей неизбежны ошибки вследствие упрощающих задачу допущений численного метода и способа учёта поверхностных граничных условий. Устойчивость разностей схемы вычислений, т.е. достижение положения, при котором ошибки, допускаемые в расчётах, не накапливаются, а как бы “растекаются” по соседним участкам сетки, достигается за счёт выбора Δх и Δt таким, чтобы выполнялось соотношение

Δt / Δx² ≤ 1 / (2·a_max) ,

где a_max - максимальное значение коэффициента температуропроводности.

    Анализ результатов, полученных для оценки точности вычислений температуры полосы методом сеток, показал, что достаточным является деление толщины полосы на 10 слоёв, т.к. более густая сетка практически не уменьшает погрешность вычислений температуры металла.