.Главная страница Предыдущая страница
3 Примеры выполнения типового расчёта
Задача 1. Построим график функции, задаваемой уравнением .
Решение. Уравнение вида 
задает на плоскости прямую линию. Найдем пересечение этой прямой
с осями координат.
Абсцисса точки пересечения прямой с осью ординат (осью Оy) равна нулю. Подставляя в уравнение 
,
получаем 
. Следовательно, прямая пересекает ось Oy в точке (0; 2).
Ордината точки пересечения прямой с осью абсцисс (осью Ох) равна нулю. Подставляя в уравнение 
,
получаем 
. Значит, прямая пересекает ось Oх в точке (3; 0).
Строим прямую через две полученные точки (рис. 2.23).
Рис. 2.23
Задача 2. Построим график функции 
.
Решение. График функции 
получится смещением параболы 
(рис. 1.2)
на 4 единицы вниз. Вершина параболы будет находиться в точке 
. Точки пересечения параболы с осью абсцисс найдем из условия
Искомые точки имеют координаты 
и 
(рис. 1.24).
Задача 3. Построим график функции 
.
Рис. 1.24
Решение. Построим график функции 
. Мы имеем квадратичную функцию, её корни 
,
. Коэффициент при 
положительный, поэтому графиком функции является парабола с ветвями, направленными
вверх. Вершина параболы имеет координаты (2; -1) (см. формулу (1.8)). График функции представлен на рис. 1.25.
Рис. 1.25
Для построения графика функции заметим, что на интервалах 
функция принимает неотрицательные значения. Следовательно, график на этих интервалах не меняется. На интервале (1;
3) эта функция отрицательна, поэтому отразим на этом интервале график квадратного трехчлена зеркально относительно оси абсцисс. Мы получили
искомый график (рис. 1.26).
Рис. 1.26
Задача 4. Построим график функции 
.
Решение. График функции 
получится смещением графика логарифмической функции 
(рис. 1.6) на 4 единицы вправо. (рис. 1.27).
Рис. 1.27
Область определения функции 
.
Точка пересечения с осью абсцисс найдется из условия 
.
Задача 5. Построим график функции 
.
Решение. Заданная функция является дробно-линейной (отношение двух линейных функций). Для построения её графика выделим целую часть. Для этого к аргументу х в числителе добавим 3 и вычтем , чтобы после раскрытия скобок первое слагаемое числителя разделилось на знаменатель:
Мы получили функцию вида 
. Способ построения графика функции такого вида рассмотрен в п. 1.1.6.
сводится к следующему. Введем замену переменных 
. Это преобразование соответствует параллельному
переносу осей координат. Начало новой системы будет находиться в точке (-3; 2).. Строим вспомогательные оси и во вспомогательной системе координат
строим график 
(рис. 1.3).
Находим точки пересечения графика с осями координат в системе х0у:
С осью 0х: 
.
С осью 0у: 
.
Полученный график представлен на рис. 1.28. Этот график функции имеет горизонтальную асимптоту y = 2 и вертикальную асимптоту х = -3.
Рис. 1.28
Задача 7. Построим график функции 
.
Решение. График функции 
получится из графика функции 
(рис. 1.7) растяжением по оси абсцисс в 2 раза (см. п. 1.1.6). Полученный график представлен на рис. 1.29.
Рис. 1.29
Точки пересечения графика с осью абсцисс найдутся из уравнения
.
Координаты точек максимумов и минимумов найдутся из уравнений:
.
Задача 7. Построим график функции 
.
Решение. В нашем случае график функции 
(рис. 1.17) растягивается в два раза по оси ординат
и зеркально отражается относительно оси абсцисс (см. п. 1.1.6) (рис. 1.30).
Рис. 1.30