| Х | P | Х · P | Х2 · P |  |
| 1 | 0,6 | 0,6 | 0,6 | 0 |
| 2 | 0,4· 0,6 = 0,24 | 0,48 | 0,96 | 0,6 |
| 3 | 0,42· 0,6 = 0,096 | 0,288 | 0,864 | 0,84 |
| 4 | 0,43· 0,6 + 0,44 = 0,064 | 0,256 | 1,024 | 0,936 |
| Σ | 1,000 | 1,624 | 3,448 |
Главная страница Предыдущая страница
3 Примеры выполнения задач типового расчёта
Задача 1. Стрелок стреляет в мишень до первого попадания, но не более четырех раз. Вероятность попадания при одном выстреле равна р = 0,6. Дискретная случайная величина Х - число затраченных патронов. Найти распределение вероятностей величины Х, вычислить М(Х), D(X), σ (Х). Определить вероятность Р того, что стрелок израсходует не менее трех патронов. Найти функцию распределения F(x) и построить её график.
Решение: Все расчёты приведены в таблице 1.3. Случайная величина Х принимает значения Х = n (n = 1, 2, 3, 4). Подсчитаем их вероятности. Пусть вероятность промаха q = 1 - p = 0,4. Очевидно, Р(Х = 1) = р (стрелок попал с первого раза), Р(Х= 2) = qp (стрелок первый раз промахнулся, а во второй раз попал), Р(Х = 3) = q2 p (стрелок два раза промахнулся, а в третий раз попал), Р(Х = 4) = q3 p+ q4 (стрелок три раза промахнулся, а в четвертый раз попал; или четыре раза промахнулся, но и в этом случае Х = 4, так как стрелок стреляет не более четырех раз).
Таблица 1.3
| Х | P | Х · P | Х2 · P | |
| 1 | 0,6 | 0,6 | 0,6 | 0 |
| 2 | 0,4· 0,6 = 0,24 | 0,48 | 0,96 | 0,6 |
| 3 | 0,42· 0,6 = 0,096 | 0,288 | 0,864 | 0,84 |
| 4 | 0,43· 0,6 + 0,44 = 0,064 | 0,256 | 1,024 | 0,936 |
| Σ | 1,000 | 1,624 | 3,448 |
Расчёт математического ожидания случайных величин X и Х2 также приведен в таблице 1.3 по формулам (1.18), (1.22):
; 
В столбцах XP и Х2P записаны значения произведений хipi и хi2pi. В последней строке - суммы элементов соответствующих столбцов.
M(X) = 1,624; M(X2) = 3,448; D(X) = 3,448 - 1,6242 
0,81; σ 0,9
Вероятность того, что стрелок израсходует не менее трех патронов соответствует вероятности события X 
3:
P(X 3) = P (X = 3) + P (X = 4) = 0,096+0,064 = 0,16.
Рис. 1.2
Функцию распределения F(х) находим по формуле (1.15) как функцию накопленных вероятностей 
,
где суммирование распространяется на все значения индекса i, для которых 
. Полученные значения функции распределения
записаны в последнем столбце таблицы 1.3.
Искомая функция распределения имеет вид:
.
График функции распределения представлен на рис. 1.2.
Ответ:
M(X) = 1,624; D(X) 0,81; σ 0,9; Р = 0,16.
Задача 2. Стрелок делает пять независимых выстрелов в мишень. вероятность попадания в цель при одном выстреле равна 0,6. Случайная величина Х - число попаданий в цель. Найти распределение вероятностей величины Х, вычислить М(Х), D(X), σ (Х). Определить вероятность Р того, что цель будет поражена, т.е. будет хотя бы одно попадание. Найти функцию распределения F(x) и построить её график.
Решение: Дискретная случайная величина Х имеет биномиальное распределение, где n = 5, р =
0,6, q = 0, 4, тогда вероятности 
можно вычислить по формуле (1.16):
.
.
.
.
.
.
Проверка:
.
Распределение вероятностей случайной величины Х приведено в табл. 1.4.
Математическое ожидание и дисперсия дискретной случайной величины Х, имеющей биномиальное распределение, могут быть найдены по формулам (1.23):
. 
1,095.
Таблица 1.4
| Х | Р | |
| 0 | (0,4) = 0,0102 |
0 |
| 1 | 5 · 0,6 · (0,4) = 0,0768 |
0,0102 |
| 2 | 10 · (0,6) · (0,4) = 0,2304 |
0,087 |
| 3 | 10 · (0,6) · (0,4) = 0,3456 |
0,3174 |
| 4 | 5 · (0,6) · 0,4 = 0,2592 |
0,663 |
| 5 | (0,6)= 0,0778 |
0,9222 |
| Σ | 1,000 |
Вероятность того, что цель будет поражена, т.е. будет хотя бы одно попадание соответствует вероятности события X
1.
P(X 1) = 1- P (X = 0) = 1-0,0102 = 0,9898.
Функцию распределения F(х) находим по формуле (1.15) как функцию накопленных вероятностей ,
где суммирование распространяется на все значения индекса i, для которых . Полученные значения
функции распределения записаны в последнем столбце таблицы 1.4,
Искомая функция распределения имеет вид:
.
График функции распределения представлен на рис. 1.3.
Рис. 1.3
Ответ:
M(X) = 3; D(X) = 1,2; σ 1,095; Р = 0,9898.
Задача 3. В партии из 30 деталей имеется 8 нестандартных, остальные стандартные. Наудачу отобраны 6 деталей. Х - числа стандартных деталей среди отобранных. Найти распределение вероятностей дискретной случайной величины Х, вычислить М(Х), D(X), σ (Х). Определить вероятность Р того, что среди отобранных деталей не более двух нестандартных. Найти функцию распределения F(x) и построить её график.
Решение: P (X = 0) = Р (все 6 деталей нестандартные) =
=(8/30)(7/29)(6/28)(5/27)(4/26)(3/25) 0,00005
P (X = 1) = Р (одна деталь стандартная, остальные нестандартные) =
= 6· (22/30)(8/29)(7/28)(6/27)(5/26)(4/25) 0,00207
Найдена вероятность события: первая вынутая деталь стандартная, остальные нестандартные. Но стандартная деталь может быть вынута первой, второй, третьей, … , шестой, т.е. возможно шесть несовместных событий (вариантов), а искомое событие X = 1 является их суммой. Вероятность каждого варианта одинакова, поэтому найденная вероятность умножена на 6.
P (X = 2) = Р (две детали стандартные, остальные нестандартные) =
= 
· (22/30)(21/29)(8/28)(7/27)(6/26)(5/25) 0,02723
Найдена вероятность события: две первые вынутые детали стандартные, остальные нестандартные. Эта вероятность умножена
на число вариантов, которыми можно вынуть две детали из шести, т.е. на 
.
P (X = 3) = Р (три детали стандартные, остальные нестандартные) =
= 
· (22/30)(21/29)(20/28)(8/27)(7/26)(6/25) 0,1452
Найдена вероятность события: три первые вынутые детали стандартные, остальные нестандартные. Эта вероятность умножена
на число вариантов, которыми можно вынуть три детали из шести, т.е. на 
.
P (X = 4) = Р(четыре детали стандартные, остальные нестандартные) =
= 
· (22/30)(21/29)(20/28)(19/27)(8/26)(7/25)0,3449
P (X = 5) = Р(пять деталей стандартные, остальные нестандартные) =
= 
· (22/30)(21/29)(20/28)(19/27)(18/26)(8/25)0,3548
P (X = 6) = Р(все шесть деталей стандартные) =
= (22/30)(21/29)(20/28)(19/27)(18/26)(17/25)0,1257
Распределение вероятностей случайной величины Х приведено табл. 1.5. Вероятность события X = 0 получилась равной нулю, так как расчёт вероятностей проводился с точностью четыре знака после запятой. При более точном расчёте P(X = 0) = 0,000047.
Таблица 1.5
| Х | Р | ХР | Х2Р | |
| 0 | (8/30)(7/29)(6/28)(5/27)(4/26)(3/25) 0,0000 |
0,0000 | 0,0000 | 0 |
| 1 | 6· (22/30)(8/29)(7/28)(6/27)(5/26)(4/25) 0,0021 |
0,0021 | 0,0021 | 0 |
| 2 | 15· (22/30)(21/29)(8/28)(7/27)(6/26)(5/25) 0,0272 |
0,0544 | 0,1088 | 0,0021 |
| 3 | 20· (22/30)(21/29)(20/28)(8/27)(7/26)(6/25) 0,1452 |
0,4356 | 1,3068 | 0,0293 |
| 4 | 15· (22/30)(21/29)(20/28)(19/27)(8/26)(7/25)0,3450 |
1,3800 | 5,5200 | 0,1745 |
| 5 | 6· (22/30)(21/29)(20/28)(19/27)(18/26)(8/25)0,3548 |
1,7740 | 8, 8700 | 0,5195 |
| 6 | (22/30)(21/29)(20/28)(19/27)(18/26)(17/25)0,1257 |
0,7542 | 4,5252 | 0,8743 |
| Σ | 1,0000 | 4,4003 | 20,3329 |
Расчёт математического ожидания случайных величин X и Х2 также приведен в таблице 1.5 по формулам (1.18), (1.22). В столбцах XP и Х2P записаны значения произведений хipi и хi2pi. В последней строке - суммы элементов соответствующих столбцов.
M(X) 4,4; M(X2) = 20,3329; D(X) = 20,3329
- 4,40032 0,97; σ 0,985
Вероятность того, что среди отобранных деталей не более двух нестандартных соответствует вероятности события X
4.
P(X 4) = P(X = 4) + P(X = 5) + P(X = 6)
= 0,3450+0,3548+0,1257 = 0,8255
Рис. 1.4
Функцию распределения F(х) находим по формуле (1.15) как функцию накопленных вероятностей ,
где суммирование распространяется на все значения индекса i, для которых . Полученные значения функции распределения
записаны в последнем столбце таблицы 1.5.
Искомая функция распределения имеет вид:
График функции распределения представлен на рис. 1.4.
Ответ:
M(X) = 4.4; D(X) = 0,97; σ 0,985; Р = 0,8255